الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
1.ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbهماعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
يُسمىaبـ"الجزءالحقيقي"للعددالمركب،بينمايُسمىbبـ"الجزءالتخيلي".
2.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
أ.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب.الضرب
يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
4.مرافقالعددالمركب
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).منخصائصه:
-ضربالعددبمرافقهيعطيعددًاحقيقيًا:(z\cdot\overline{ z}=a^2+b^2).
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشاراتوالموجات.
-الفيزياءالكميةوالهندسة.
6.خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية(مثل(x^2+1=0)).بفهمهاجيدًا،يمكنتطبيقهافيمجالاتمتعددةلتحليلوحلالمشكلاتالمعقدة.
هذاالدرسيقدمأساسياتالأعدادالمركبة،وللتعمقأكثريمكندراسةتحويلاتفورييهوحسابالتفاضلوالتكاملفيالمستوىالمركب.
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،وتلعبدورًامهمًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
1.ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيللعدد.
-(b)هوالجزءالتخيليللعدد.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i^2=-1]
2.تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
-التمثيلالجبري:(z=a+bi)
-التمثيلالهندسي:يُمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.
3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
أ)الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب)الضرب
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونتذكرأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج)القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
4.مرافقالعددالمركب
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).منخصائصالمرافق:
-(z+\overline{ z}=2a)(عددحقيقي).
-(z\cdot\overline{ z}=a^2+b^2)(عددحقيقيموجب).
5.معيارالعددالمركب
معيارالعددالمركب(z=a+bi)هوالمسافةبينالنقطة((a,شرحدرسالأعدادالمركبةb))ونقطةالأصلفيالمستوىالمركب،ويُحسببالعلاقة:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
6.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.
-معالجةالإشارات:تحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهافينطاقالأعدادالحقيقيةفقط.منخلالفهمأساسياتهاوتطبيقاتها،يمكنالاستفادةمنهافيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.
